Most Important MCQs for Class 10 Quadratic Equations (BSE Odisha 2026) ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ: ୨୦୨୬ ମାଟ୍ରିକ ପରୀକ୍ଷା ପାଇଁ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ MCQ:part 1

 ୨୦୨୬ ମସିହା ପାଇଁ "ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ" (Quadratic Equation) ଅଧ୍ୟାୟରୁ  ଜଟିଳ ଏବଂ ନୂତନ ଶୈଳୀର ପ୍ରଶ୍ନ 

୧୦୦ଟି MCQ ଦିଆଗଲା

Quick Revision: Quadratic Equation MCQs for 10th HSC Odisha Board:

Quick Revision ପାଇଁ କିଛି ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ମୁଖ୍ୟ ପଏଣ୍ଟ (Key Points for MCQs) 

୨୦୨୬ ପରୀକ୍ଷା ପାଇଁ ଏହି ତଥ୍ୟଗୁଡ଼ିକରୁ ଅଧିକ MCQ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବନା ଅଛି: 

• ସାଧାରଣ ରୂପ:
  

  $a{x}^2+bx+c=0$
  (ଯେଉଁଠି
  

  $a\ne 0$
  )
• ପ୍ରଭେଦକ (Discriminant):
  

  $D=b^2-4ac$
• ମୂଳର ସ୍ୱରୂପ (Nature of Roots):
  • ଯଦି
    

    $D>0$
    , ମୂଳଦ୍ୱୟ ବାସ୍ତବ ଓ ଅସମାନ।
  • ଯଦି
    

    $D=0$
    , ମୂଳଦ୍ୱୟ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ (
    

    $\alpha =\beta =-b/2a$
    )।
  • ଯଦି
    

    $D<0$
    , କୌଣସି ବାସ୍ତବ ମୂଳ ନାହିଁ।
• ମୂଳ ଓ ସହଗ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ:
  • ମୂଳଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି (
    

    $\alpha +\beta$
    ) =
    

    $-b/a$
  • ମୂଳଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳ (
    

    $\alpha \cdot \beta$
    ) =
    

    $c/a$

୧୦୧. ଯଦି

$x^2-px+q=0$

ସମୀକରଣର ଏକ ମୂଳ ଅନ୍ୟଟିର ତିନିଗୁଣ ହୁଏ, ତେବେ

$p$

ଏବଂ

$q$

ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କଟି କ’ଣ?
(A)

$3p^2=16q$

(B)

$p^2=4q$

(C)

$16p^2=3q$

(D)

$9p^2=16q$

 

୧୦୨.

$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots }}}=5$

ହେଲେ,

$x$

ର ମାନ କେତେ?
(A) ୨୦
(B) ୨୫
(C) ୩୦
(D) ୧୫ 

୧୦୩.

$k$

ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ

$x^2-2(1+3k)x+7(3+2k)=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ ହେବେ?
(A)

$k=2$

କିମ୍ବା

$k=-10/9$

(B)

$k=1$

କିମ୍ବା

$k=10/9$

(C)

$k=2$

କିମ୍ବା

$k=10/9$

(D)

$k=0$

କିମ୍ବା

$k=2$

 

୧୦୪. ଯଦି

$\alpha$

ଏବଂ

$\beta$

ସମୀକରଣ

$a{x}^2+bx+c=0$

ର ମୂଳ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

${\alpha }^2{\beta }^2$

କେଉଁଟି ସହ ସମାନ?
(A)

$c^2/a^2$

(B)

$b^2/a^2$

(C)

$c/a$

(D)

$-c^2/a^2$

 

୧୦୫.

$x^2+px+45=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ବର୍ଗର ଅନ୍ତର ୧୪୪ ହେଲେ,

$p$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$\pm$

(B)

$\pm$

(C)

$\pm$

(D)

$\pm$

 

୧୦୬.

$2^{x^2}=16$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ କେଉଁଟି?
(A)

$2,-2$

(B)

$4,-4$

(C)

$1,-1$

(D)

$0,4$

 

୧୦୭. ଯଦି ସମୀକରଣ

$x^2-kx+1=0$

ର କୌଣସି ବାସ୍ତବ ମୂଳ ନାହିଁ, ତେବେ

$k$

ପାଇଁ କେଉଁଟି ସତ୍ୟ?
(A)

$k^2<4$

(B)

$k^2>4$

(C)

$k^2=4$

(D)

$k<4$

 

୧୦୮.

$(k+1)x^2-2(k-1)x+1=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ ହେଲେ

$k$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$,$

(B)

$,$

(C)

$,$

(D)

$,$

 

୧୦୯. ଯଦି

$\alpha ,\beta$

ସମୀକରଣ

$x^2-6x+a=0$

ର ମୂଳ ହୁଅନ୍ତି ଏବଂ

$3\alpha +2\beta =20$

ହୁଏ, ତେବେ

$a$

ର ମାନ କେତେ?
(A) -୧୬
(B) ୮
(C) -୮
(D) ୧୬ 

୧୧୦.

$a{x}^2+bx+c=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ହେଲେ କେଉଁଟି ସତ୍ୟ?
(A)

$b=0$

(B)

$c=0$

(C)

$a=0$

(D)

$a=c$

 

---

ଉତ୍ତର ସୂଚୀ (Answer Key):
୧୦୧. (A), ୧୦୨. (A), ୧୦୩. (A), ୧୦୪. (A), ୧୦୫. (A), ୧୦୬. (A), ୧୦୭. (A), ୧୦୮. (A), ୧୦୯. (A), ୧୧୦. (A) 

୧୧୧.

$x^2-px+q=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତର ୧ ହେଲେ,

$p^2$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$4q+1$

(B)

$4q-1$

(C)

$q^2+1$

(D)

$4p+q$

୧୧୨. ଯଦି

$a{x}^2+bx+c=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha$

ଓ

$\beta$

ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$\frac{{\alpha }^2}{{\beta }^2}+\frac{{\beta }^2}{{\alpha }^2}$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$\frac{b^4-4b^{2}ac+2a^2{c}^2}{a^2{c}^2}$

(B)

$\frac{b^2-4ac}{a^2{c}^2}$

(C)

$\frac{b^4+4b^{2}ac+2a^2{c}^2}{a^2{c}^2}$

(D)

$\frac{b^4-4b^{2}ac-2a^2{c}^2}{a^2{c}^2}$

୧୧୩.

$k$

ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ

$x^2+5kx+16=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ହେବେ ନାହିଁ?
(A)

$\left|k\right|<\frac{8}{5}$

(B)

$k>\frac{8}{5}$

(C)

$\left|k\right|>\frac{8}{5}$

(D)

$k<\frac{-8}{5}$

୧୧୪.

$x=\frac{1}{x+1}$

ହେଲେ,

$x$

ର ଏକ ବାସ୍ତବ ମାନ କେତେ?
(A)

$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

(B)

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

(C)

$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

(D) (A) ଏବଂ (C) ଉଭୟ

୧୧୫. ଯଦି

$\alpha$

ଓ

$\beta$

ସମୀକରଣ

$x^2-px+q=0$

ର ମୂଳ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

${\alpha }^4+{\beta }^4$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$p^4-4p^{2}q+2q^2$

(B)

$p^4-4p^{2}q-2q^2$

(C)

$p^4+4p^{2}q+2q^2$

(D)

$p^4-2p^{2}q+q^2$

୧୧୬.

$a{x}^2+bx+c=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$m:n$

ଅନୁପାତରେ ଥିଲେ, ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସତ୍ୟ?
(A)

$ac(m+n{)}^2=mn{b}^2$

(B)

$ab(m+n{)}^2=mn{c}^2$

(C)

$bc(m+n{)}^2=mn{a}^2$

(D)

$ac(m+n)=mnb$

୧୧୭. ଯଦି

$x^2-kx+9=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ଅନ୍ୟଟିର ଚାରିଗୁଣ ହୁଏ, ତେବେ

$k$

ର ଧନାତ୍ମକ ମାନ କେତେ?
(A)

$\mathrm{.}$

(B)

$$

(C)

$$

(D)

$$

୧୧୮.

$x^2+2(k+2)x+9k=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ ହେଲେ,

$k$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$,$

(B)

$,$

(C)

$,$

(D)

$,$

୧୧୯.

$3x^2-12x+(n-5)=0$

ସମୀକରଣର ଏକ ମୂଳ ଶୂନ୍ୟ ହେଲେ,

$n$

ର ମାନ କେତେ?
(A) ୫
(B) ୧୨
(C) ୩
(D) ୦

୧୨୦.

$x^2-mx+2=0$

ଏବଂ

$x^2-2x+m=0$

ର ଏକ ସାଧାରଣ ମୂଳ ଥିଲେ

$m$

ର ମାନ କେତେ?
(A) -୩
(B) ୩
(C) ୨
(D) -୨

---

ଉତ୍ତର ସୂଚୀ (Answer Key):
୧୧୧. (A), ୧୧୨. (A), ୧୧୩. (A), ୧୧୪. (D), ୧୧୫. (A), ୧୧୬. (A), ୧୧୭. (A), ୧୧୮. (A), ୧୧୯. (A), ୧୨୦. (A)

ସମାଧାନ ପାଇଁ ସୂଚନା:

• ୧୧୧:
  

  $(\alpha -\beta {)}^2=1^2\Rightarrow (\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =1\Rightarrow p^2-4q=1\Rightarrow p^2=4q+1$
  ।
• ୧୧୭:
  

  $\alpha +4\alpha =k$
  ଏବଂ
  

  $\alpha \cdot 4\alpha =9\Rightarrow 4{\alpha }^2=9\Rightarrow \alpha =1.5$
  । ତେଣୁ
  

  $k=5\times 1.5=7.5$
  ।
• ୧୨୦: ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟକୁ ବିୟୋଗ କଲେ
  

  $(2-m)x+(2-m)=0\Rightarrow x=-1$
  । ଏହାକୁ ଯେକୌଣସି ସମୀକରଣରେ ରଖିଲେ
  

  $m=-3$
  ମିଳିବ।

୧୨୧. ଯଦି

$x^2+ax+b=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\tan {30}^{\circ }$

ଏବଂ

$\tan {15}^{\circ }$

ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$b-a$

ର ମାନ କେତେ?
(A) ୦
(B) ୧
(C) ୨
(D) ୩

୧୨୨.

$k$

ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ

$x^2-(k-3)x+k=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଏବଂ ସମାନ ହେବେ?
(A)

$,$

(B)

$,$

(C)

$,$

(D)

$,$

୧୨୩. ଯଦି

$x^2-px+q=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha$

ଓ

$\beta$

ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$\frac{1}{{\alpha }^2}+\frac{1}{{\beta }^2}$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$\frac{p^2-2q}{q^2}$

(B)

$\frac{p^2+2q}{q^2}$

(C)

$\frac{p^2-2q}{q}$

(D)

$\frac{p-2q}{q^2}$

୧୨୪. ଯଦି

$k$

ର ମାନ ପାଇଁ

$3x^2+2x+k=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$k$

ର ମାନ କେତେ?
(A) ୨
(B) ୩
(C)

$/$

(D) -୩

୧୨୫.

$x^2-5x+1=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha ,\beta$

ହେଲେ,

$\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$\sqrt{5}$

(B)

$\sqrt{7}$

(C)

$\sqrt{3}$

(D) ୫

୧୨୬. ଯଦି

$(x^2+1{)}^2-x^2=0$

ଏକ ସମୀକରଣ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର କେତୋଟି ବାସ୍ତବ ମୂଳ ଅଛି?
(A) ୪
(B) ୨
(C) ୧
(D) ୦ (କୌଣସିଟି ନୁହେଁ)

୧୨୭.

$2x^2+kx-6=0$

ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ୨ ହେଲେ,

$k$

ର ମାନ କେତେ?
(A) -୧
(B) ୧
(C) ୨
(D) -୨

୧୨୮. ଯେଉଁ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$1/2$

ଏବଂ

$-1/3$

, ସେହି ସମୀକରଣଟି କେଉଁଟି?
(A)

$6x^2-x-1=0$

(B)

$6x^2+x-1=0$

(C)

$x^2-x+6=0$

(D)

$6x^2-x+1=0$

୧୨୯.

$a{x}^2+bx+c=0$

ସମୀକରଣରେ

$a+b+c=0$

ହେଲେ, ମୂଳଦ୍ଵୟ କେଉଁଟି ହେବ?
(A)

$1,c/a$

(B)

$1,-c/a$

(C)

$-1,-c/a$

(D)

$0,1$

୧୩୦.

$x^2-\left|x\right|-2=0$

ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ସେଟ୍ କେଉଁଟି?
(A)

$\{2,-2\}$

(B)

$\{2,-1\}$

(C)

$\{1,-2\}$

(D)

$\{2,1\}$

---

ଉତ୍ତର ସୂଚୀ (Answer Key):
୧୨୧. (B), ୧୨୨. (A), ୧୨୩. (A), ୧୨୪. (B), ୧୨୫. (B), ୧୨୬. (D), ୧୨୭. (A), ୧୨୮. (A), ୧୨୯. (A), ୧୩୦. (A)

ସମାଧାନ ପାଇଁ ହିଣ୍ଟ୍‌ସ:

• ୧୨୫:
  

  $(\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }{)}^2=\alpha +\beta +2\sqrt{\alpha \beta }=5+2(1)=7$
  । ତେଣୁ ଉତ୍ତର
  

  $\sqrt{7}$
  ।
• ୧୨୬:
  

  $(x^2+1{)}^2=x^2\Rightarrow x^2+1=\pm x$
  । ଏହାର ପ୍ରଭେଦକ ଋଣାତ୍ମକ, ତେଣୁ ବାସ୍ତବ ମୂଳ ନାହିଁ।
• ୧୩୦:
  

  $|x{|}^2-|x|-2=0\Rightarrow (\left|x\right|-2\left)\right(\left|x\right|+1)=0$
  ।
  

  $\left|x\right|=2$
  ହେବାରୁ
  

  $x=\pm 2$
  ।

୧୩୧. ଯଦି

$x^2-px+q=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha ,\beta$

ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$\frac{1}{{\alpha }^3}+\frac{1}{{\beta }^3}$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$\frac{p^3-3pq}{q^3}$

(B)

$\frac{3pq-p^3}{q^3}$

(C)

$\frac{p^3+3pq}{q^3}$

(D)

$\frac{p^3-3pq}{q^2}$

୧୩୨.

$k$

ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ

$(k+4)x^2+(k+1)x+1=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ ହେବେ?
(A)

$,-$

(B)

$,-$

(C)

$,$

(D)

$-,-$

୧୩୩.

$x^2+kx+1=0$

ଏବଂ

$x^2+x+k=0$

ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଏକ ସାଧାରଣ ମୂଳ ଥିଲେ,

$k$

ର ମାନ କେଉଁଟି ହୋଇପାରେ?
(A) ୦
(B) ୧
(C) -୨
(D) (B) ଏବଂ (C) ଉଭୟ

୧୩୪. ଯଦି

$x=\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7+\dots }}}$

ହୁଏ, ତେବେ

$x$

ର ମାନ କେଉଁ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ରହିବ?
(A) ୧ ଏବଂ ୨
(B) ୨ ଏବଂ ୩
(C) ୩ ଏବଂ ୪
(D) ୪ ଏବଂ ୫

୧୩୫. ଯଦି

$\alpha$

ଏବଂ

$\beta$

ସମୀକରଣ

$x^2-\sqrt{2}x+1=0$

ର ମୂଳ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

${\alpha }^{10}+{\beta }^{10}$

ର ମାନ କେତେ?
(A) ୦
(B) ୨
(C) -୨
(D) ୧

୧୩୬. ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ

$a{x}^2+bx+c=0$

ର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha$

ଏବଂ

$\beta$

ହେଲେ,

$\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}+\sqrt{\frac{\beta }{\alpha }}$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$\frac{-b}{\sqrt{ac}}$

(B)

$\frac{b}{\sqrt{ac}}$

(C)

$\frac{\sqrt{b}}{ac}$

(D)

$\frac{-b}{ac}$

୧୩୭.

$x^2-bx+c=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା (Consecutive integers) ହେଲେ,

$b^2-4c$

ର ମାନ କେତେ?
(A) ୦
(B) ୧
(C) ୨
(D) ୩

୧୩୮. ଯଦି

$x^2+x+1=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳ

$\alpha$

ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟ ମୂଳଟି କେଉଁଟି ହେବ?
(A)

${\alpha }^2$

(B)

$1/\alpha$

(C)

$-\alpha$

(D) (A) ଏବଂ (B) ଉଭୟ

୧୩୯.

$k$

ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ

$x^2-(k+6)x+2(2k-1)=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି, ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳର ଅଧା ହେବ?
(A) ୭
(B) ୫
(C) ୬
(D) ୮

୧୪୦.

$x$

ର ମାନ ପାଇଁ ସମାଧାନ କର:

$3^{x+2}+3^{-x}=10$

।

$x$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$,-$

(B)

$,$

(C)

$,-$

(D)

$,-$

---

ଉତ୍ତର ସୂଚୀ (Answer Key):
୧୩୧. (A), ୧୩୨. (B), ୧୩୩. (D), ୧୩୪. (C), ୧୩୫. (A), ୧୩୬. (A), ୧୩୭. (B), ୧୩୮. (D), ୧୩୯. (A), ୧୪୦. (A)

ସମାଧାନ ଟିପ୍ପଣୀ:

• ୧୩୪:
  

  $x^2-x-7=0$
  ସମୀକରଣର ସମାଧାନ କଲେ
  

  $x\approx 3.19$
  ମିଳିବ, ଯାହା ୩ ଓ ୪ ମଧ୍ୟରେ।
• ୧୩୭:
  

  $(\alpha -\beta {)}^2=1^2\Rightarrow (\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =1\Rightarrow b^2-4c=1$
  ।
• ୧୪୦:
  

  $3^x=y$
  ନେଲେ
  

  $9y+1/y=10\Rightarrow 9y^2-10y+1=0\Rightarrow y=1,1/9$
  । ତେଣୁ
  

  $x=0,-2$
  ।

୧୪୧. ଯଦି

$x^2+kx+64=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଏବଂ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$k$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$\pm$

(B)

$\pm$

(C)

$\pm$

(D)

$\pm$

 

୧୪୨.

$a{x}^2+bx+c=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ (Reciprocal) ହେବା ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ସର୍ତ୍ତଟି କ’ଣ?
(A)

$a=b$

(B)

$b=c$

(C)

$a=c$

(D)

$a+b+c=0$

 

୧୪୩.

$x^2-12x+k=0$

ସମୀକରଣର ଏକ ମୂଳ ଅନ୍ୟଟିର ଦୁଇଗୁଣ ହେଲେ,

$k$

ର ମାନ କେତେ?
(A) ୩୨
(B) ୩୬
(C) ୧୨
(D) ୨୪ 

୧୪୪.

$2x^2-5x-3=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ କେଉଁଟି?
(A)

$3,-1/2$

(B)

$-3,1/2$

(C)

$2,3$

(D)

$3,1/2$

 

୧୪୫. ଯଦି

$\alpha$

ଏବଂ

$\beta$

ସମୀକରଣ

$x^2+5x+5=0$

ର ମୂଳ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

${\alpha }^{-2}+{\beta }^{-2}$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$3/5$

(B)

$5/3$

(C)

$2/5$

(D)

$1$

 

୧୪୬.

$k$

ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ

$kx(x-2)+6=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ ହେବେ?
(A) ୦
(B) ୬
(C) ୩
(D) ୪ 

୧୪୭. ଯଦି

$x=2$

ଏବଂ

$x=3$

ସମୀକରଣ

$3x^2-2kx+2m=0$

ର ଦୁଇଟି ମୂଳ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$k$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$15/2$

(B)

$9$

(C)

$15$

(D)

$2/15$

 

୧୪୮.

$x^2-px+q=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha ,\beta$

ହେଲେ,

$(\alpha -\beta {)}^2$

ର ମାନ କେଉଁଟି?
(A)

$p^2-4q$

(B)

$p^2+4q$

(C)

$q^2-4p$

(D)

$p^2-2q$

 

୧୪୯. ଯଦି କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ତା’ର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି

$2\frac{1}{6}$

ହୁଏ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ?
(A)

$2/3$

କିମ୍ବା

$3/2$

(B)

$3/4$

କିମ୍ବା

$4/3$

(C)

$5/6$

କିମ୍ବା

$6/5$

(D)

$1/2$

କିମ୍ବା

$2$

 

୧୫୦.

$x^2+4x+2=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha$

ଓ

$\beta$

ହେଲେ,

${\alpha }^2+{\beta }^2$

ର ମାନ କେତେ?
(A) ୧୨
(B) ୧୬
(C) ୮
(D) ୧୦ 

---

ଉତ୍ତର ସୂଚୀ (Answer Key):
୧୪୧. (B), ୧୪୨. (C), ୧୪୩. (A), ୧୪୪. (A), ୧୪୫. (A), ୧୪୬. (B), ୧୪୭. (A), ୧୪୮. (A), ୧୪୯. (A), ୧୫୦. (A) 

୧୫୧.

$x^2-2kx+(k^2+k-5)=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ହେଲେ,

$k$

ର ମାନ କେଉଁଟି ହେବ?
(A)

$k\le 5$

(B)

$k\ge 5$

(C)

$k=5$

(D)

$k>5$

୧୫୨. ଯଦି

$\alpha$

ଏବଂ

$\beta$

ସମୀକରଣ

$2x^2-4x+1=0$

ର ମୂଳ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

${\alpha }^3+{\beta }^3$

ର ମାନ କେତେ?
(A) ୨
(B) ୫
(C) ୭
(D) ୧୦

୧୫୩.

$k$

ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ ସମୀକରଣ

$x^2+4x+k=0$

ର ମୂଳଦ୍ଵୟ ପରିମେୟ (Rational) ହେବେ?
(A) ୩
(B) ୪
(C) ୫
(D) (A) ଏବଂ (B) ଉଭୟ

୧୫୪. ଯଦି ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ସହଗଗୁଡ଼ିକ (

$a,b,c$

) ବାସ୍ତବ ଏବଂ ଗୋଟିଏ ମୂଳ

$5+i$

(ଅବାସ୍ତବ) ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟ ମୂଳଟି କ’ଣ ହେବ?
(A)

$5-i$

(B)

$-5+i$

(C)

$1/5+i$

(D)

$5+i$

୧୫୫.

$x^2-px+q=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha ,\beta$

ହେଲେ,

$\frac{1}{{\alpha }^2\beta }+\frac{1}{\alpha {\beta }^2}$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$p/q^2$

(B)

$p/q$

(C)

$q/p^2$

(D)

$p^2/q$

୧୫୬. ଯଦି

$\sqrt{x+5}=x-1$

ହୁଏ, ତେବେ

$x$

ର କେଉଁ ମାନଟି ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରେ?
(A) ୪
(B) -୧
(C) ୪ ଏବଂ -୧
(D) ୦

୧୫୭. ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ୫ ଏବଂ ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି ୧୩ ହେଲେ, ସମୀକରଣଟି କେଉଁଟି?
(A)

$x^2-5x+6=0$

(B)

$x^2-5x-6=0$

(C)

$x^2+5x+6=0$

(D)

$x^2-13x+5=0$

୧୫୮.

$p{x}^2+qx+r=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ ହେଲେ,

$r$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$q^2/4p$

(B)

$-q^2/4p$

(C)

$q/2p$

(D)

$q^2/p$

୧୫୯.

$x^2-(m+1)x+m=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ କେଉଁଟି?
(A)

$1,m$

(B)

$-1,m$

(C)

$1,-m$

(D)

$0,m$

୧୬୦. ଯଦି

$x^2-8x+15=0$

ର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha ,\beta$

ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$\alpha /\beta$

ର ଏକ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ମାନ କେତେ?
(A)

$3/5$

(B)

$1/2$

(C)

$2/3$

(D)

$1$

---

ଉତ୍ତର ସୂଚୀ:
୧୫୧. (A), ୧୫୨. (B), ୧୫୩. (D), ୧୫୪. (A), ୧୫୫. (A), ୧୫୬. (A), ୧୫୭. (A), ୧୫୮. (A), ୧୫୯. (A), ୧୬୦. (A)

ସମାଧାନ ହିଣ୍ଟସ୍:

• ୧୫୨:
  

  ${\alpha }^3+{\beta }^3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )=2^3-3(1/2\left)\right(2)=8-3=5$
  ।
• ୧୫୬: ବର୍ଗ କଲେ
  

  $x+5=x^2-2x+1\Rightarrow x^2-3x-4=0$
  । ମୂଳ ୪ ଏବଂ -୧, କିନ୍ତୁ -୧ ମାନଟି ମୂଳ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରେ ନାହିଁ।
• ୧୬୦: ସମୀକରଣର ମୂଳ ୩ ଏବଂ ୫, ତେଣୁ ଅନୁପାତ
  

  $3/5$
  କିମ୍ବା
  

  $5/3$
  ।

୧୬୧. ଯଦି

$x^2+px+q=0$

ସମୀକରଣର ଏକ ମୂଳ ଅନ୍ୟ ମୂଳର ବର୍ଗ ହୁଏ, ତେବେ

$p^3-q(3p-1)$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$q^2$

(B)

$q$

(C)

$-q^2$

(D) ୦

୧୬୨.

$k$

ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ

$(4-k)x^2+(2k+4)x+(8k+1)=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଏବଂ ସମାନ ହେବେ?
(A)

$,$

(B)

$,$

(C)

$,$

(D)

$,$

୧୬୩.

$x^2+5\left|x\right|+6=0$

ସମୀକରଣର କେତୋଟି ବାସ୍ତବ ମୂଳ ଅଛି?
(A) ୦
(B) ୨
(C) ୪
(D) ୧

୧୬୪. ଯଦି

$\alpha$

ଓ

$\beta$

ସମୀକରଣ

$x^2-7x+1=0$

ର ମୂଳ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$\frac{1}{(\alpha -7{)}^2}+\frac{1}{(\beta -7{)}^2}$

ର ମାନ କେତେ?
(A) ୪୭
(B) ୪୯
(C) ୫୧
(D) ୪୫

୧୬୫.

$x$

ର ମାନ ପାଇଁ ସମାଧାନ କର:

$\sqrt{3x^2+x+5}=x-3$

। ଏହାର ବାସ୍ତବ ସମାଧାନ ସଂଖ୍ୟା କେତେ?
(A) ୧
(B) ୨
(C) ୦
(D) ୩

୧୬୬. ଯଦି

$a,b,c$

କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ (Continued Proportion) ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$a{x}^2+2bx+c=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ କିପରି ହେବେ?
(A) ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ
(B) ବାସ୍ତବ ଓ ଅସମାନ
(C) ଅବାସ୍ତବ
(D) ପରିମେୟ

୧୬୭.

$x^2-(k+1)x+5=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha$

ଓ

$\beta$

ଏବଂ

$\alpha -\beta =4$

ହେଲେ,

$k$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$$

କିମ୍ବା

$-$

(B)

$$

କିମ୍ବା

$-$

(C)

$$

କିମ୍ବା

$-$

(D)

$$

କିମ୍ବା

$-$

୧୬୮. ଯଦି

$x^2-kx+(k-1)=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha$

ଓ

$\beta$

ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$\alpha +\beta +\alpha \beta$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$2k-1$

(B)

$k-1$

(C)

$k$

(D)

$2k+1$

୧୬୯.

$4^x-3\cdot 2^{x+2}+32=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ କେଉଁଟି?
(A)

$,$

(B)

$,$

(C)

$,$

(D)

$,$

୧୭୦. ଯଦି

$x^2+px+q=0$

ର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha ,\beta$

ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$(\alpha -k)$

ଏବଂ

$(\beta -k)$

ମୂଳ ବିଶିଷ୍ଟ ସମୀକରଣଟି କେଉଁଟି?
(A)

$x^2+(p+2k)x+(k^2+pk+q)=0$

(B)

$x^2-(p+2k)x+(k^2+pk+q)=0$

(C)

$x^2+(p-2k)x+(k^2-pk+q)=0$

(D)

$x^2+(p+2k)x+(k^2-pk+q)=0$

---

ଉତ୍ତର ସୂଚୀ (Answer Key):
୧୬୧. (C), ୧୬୨. (A), ୧୬୩. (A), ୧୬୪. (A), ୧୬୫. (C), ୧୬୬. (A), ୧୬୭. (A), ୧୬୮. (A), ୧୬୯. (A), ୧୭୦. (A)

୧୭୧. ଯଦି

$x^2+kx+1=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha ,\beta$

ହୁଅନ୍ତି ଏବଂ

${\alpha }^2+{\beta }^2=7$

ହୁଏ, ତେବେ

$k$

ର ଧନାତ୍ମକ ମାନ କେତେ?
(A) ୩
(B) ୨
(C) ୯
(D) ୪ 

୧୭୨.

$2x^2+ax+b=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ (Reciprocal) ହେଲେ,

$b$

ର ମାନ କେତେ?
(A) ୨
(B) ୧
(C)

$1/2$

(D) ୦ 

୧୭୩.

$x^2-10x+2=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha ,\beta$

ହେଲେ,

$\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }$

ର ମାନ କେତେ?
(A) ୫
(B) ୨
(C) ୧୦
(D)

$1/5$

 

୧୭୪. ଯଦି

$x^2+px+q=0$

ର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$2+\sqrt{3}$

ଏବଂ

$2-\sqrt{3}$

ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$p$

ର ମାନ କେତେ?
(A) -୪
(B) ୪
(C) ୧
(D) -୧ 

୧୭୫.

$k$

ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ

$x^2-4x+k=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଏବଂ ସମାନ ହେବେ?
(A) ୪
(B) ୨
(C) -୪
(D) ୧୬ 

୧୭୬.

$x^2-7x+12=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ କେଉଁଟି?
(A)

$3,4$

(B)

$-3,-4$

(C)

$2,6$

(D)

$1,12$

 

୧୭୭. ଯଦି ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ

$a{x}^2+bx+c=0$

ର ପ୍ରଭେଦକ

$D=0$

ହୁଏ, ତେବେ ମୂଳଟି କେଉଁ ସୂତ୍ର ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ ହୁଏ?
(A)

$-b/2a$

(B)

$b/2a$

(C)

$-c/a$

(D)

$-b/a$

 

୧୭୮.

$x^2-5x+6=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ଏବଂ ଗୁଣଫଳର ଅନୁପାତ କେତେ?
(A)

$5:6$

(B)

$6:5$

(C)

$1:1$

(D)

$5:1$

 

୧୭୯. କେଉଁ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ୦ ଏବଂ ଗୁଣଫଳ -୯?
(A)

$x^2-9=0$

(B)

$x^2+9=0$

(C)

$x^2-3x=0$

(D)

$x^2+9x=0$

 

୧୮୦.

$3x^2-2x+\frac{1}{3}=0$

ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ କେତେ?
(A) ୦
(B) ୪
(C) ୮
(D) ୨ 

---

ଉତ୍ତର ସୂଚୀ (Answer Key):
୧୭୧. (A), ୧୭୨. (A), ୧୭୩. (A), ୧୭୪. (A), ୧୭୫. (A), ୧୭୬. (A), ୧୭୭. (A), ୧୭୮. (A), ୧୭୯. (A), ୧୮୦. (A) 

ସମାଧାନ ହିଣ୍ଟସ୍: 

• ୧୭୧:
  

  ${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =(-k{)}^2-2\left(1\right)=7\Rightarrow k^2=9\Rightarrow k=3$
  ।
• ୧୭୭: ଯେତେବେଳେ
  

  $D=0$
  , ଦ୍ଵିଘାତ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ
  

  $x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-b}{2a}$
  । 

୧୮୧. ଯଦି

$x^2-px+q=0$

ସମୀକରଣର ଏକ ମୂଳ ଅନ୍ୟଟିର ଦୁଇଗୁଣ ହୁଏ, ତେବେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସଠିକ୍?
(A)

$2p^2=9q$

(B)

$p^2=4q$

(C)

$9p^2=2q$

(D)

$2p^2=q$

 

୧୮୨.

$x^2-4\sqrt{3}x+9=0$

ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ (D) କେତେ?
(A) ୧୨
(B) ୪୮
(C) ୨୪
(D) ୩୬ 

୧୮୩.

$k$

ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ

$x^2-kx+1=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ଅବାସ୍ତବ (Imaginary) ହେବେ?
(A)

$\left|k\right|<2$

(B)

$\left|k\right|>2$

(C)

$\left|k\right|=2$

(D)

$k>2$

 

୧୮୪. ଯଦି

$\alpha$

ଓ

$\beta$

ସମୀକରଣ

$x^2+x+1=0$

ର ମୂଳ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2$

ର ମାନ କେତେ?
(A) ୦
(B) ୧
(C) -୧
(D) ୨ 

୧୮୫.

$x+\frac{6}{x}=5$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ କେଉଁଟି?
(A)

$2,3$

(B)

$1,6$

(C)

$-2,-3$

(D)

$5,1$

 

୧୮୬. ଯଦି

$a{x}^2+bx+c=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଏବଂ ପରସ୍ପରର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ:
(A)

$b=0$

(B)

$c=0$

(C)

$a=c$

(D)

$a+b+c=0$

 

୧୮୭.

$x^2-16=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ କିପରି?
(A) ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ
(B) ବାସ୍ତବ ଓ ଅସମାନ
(C) ଅବାସ୍ତବ
(D) ପରିମେୟ ଓ ସମାନ 

୧୮୮. ଯଦି

$x^2+5kx+16=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$k$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$\pm 8/5$

(B)

$\pm 5/8$

(C)

$\pm 4/5$

(D)

$\pm 16/5$

 

୧୮୯. ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ

$5+\sqrt{3}$

ହେଲେ, ସମୀକରଣଟି କେଉଁଟି?
(A)

$x^2-10x+22=0$

(B)

$x^2+10x+22=0$

(C)

$x^2-10x-22=0$

(D)

$x^2-5x+3=0$

 

୧୯୦.

$3x^2-5x-2=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ କେତେ?
(A)

$-2/3$

(B)

$2/3$

(C)

$5/3$

(D)

$-5/3$

 

---

ଉତ୍ତର ସୂଚୀ (Answer Key):
୧୮୧. (A), ୧୮୨. (A), ୧୮୩. (A), ୧୮୪. (A), ୧୮୫. (A), ୧୮୬. (A), ୧୮୭. (B), ୧୮୮. (A), ୧୮୯. (A), ୧୯୦. (A) 

୧୯୧.

$x^2-px+q=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ

$\alpha$

ଓ

$\beta$

ହେଲେ,

${\alpha }^2\beta +\alpha {\beta }^2$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$pq$

(B)

$-pq$

(C)

$p/q$

(D)

$q/p$

୧୯୨. ଯଦି

$k$

ର ମାନ

$k>4$

ହୁଏ, ତେବେ

$x^2-kx+4=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ କିପରି ହେବେ?
(A) ବାସ୍ତବ ଓ ଅସମାନ
(B) ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ
(C) ଅବାସ୍ତବ
(D) ପରିମେୟ ଓ ସମାନ

୧୯୩.

$x^2+x-12=0$

ସମୀକରଣର ଏକ ମୂଳ ୩ ହେଲେ, ଅନ୍ୟ ମୂଳଟି କେତେ?
(A) ୪
(B) -୪
(C) ୨
(D) -୩

୧୯୪.

$a{x}^2+bx+c=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ ଓ ବିପରୀତ ଚିହ୍ନଯୁକ୍ତ ହେଲେ, କେଉଁଟି ସଠିକ୍?
(A)

$a+c=0$

(B)

$a-c=0$

(C)

$a+b=0$

(D)

$a=b$

୧୯୫. ଯଦି

$\alpha$

ଓ

$\beta$

ସମୀକରଣ

$x^2-1=0$

ର ମୂଳ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ

$\alpha +\beta$

ର ମାନ କେତେ?
(A) ୧
(B) -୧
(C) ୦
(D) ୨

୧୯୬. କେଉଁ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ୩ ଏବଂ ଗୁଣଫଳ ୨?
(A)

$x^2-3x+2=0$

(B)

$x^2+3x+2=0$

(C)

$x^2-2x+3=0$

(D)

$x^2+2x-3=0$

୧୯୭.

$2x^2-\sqrt{5}x+1=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସ୍ଵରୂପ କ’ଣ?
(A) ବାସ୍ତବ ଓ ଅସମାନ
(B) ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ
(C) ଅବାସ୍ତବ
(D) ପରିମେୟ

୧୯୮.

$x^2-9x+18=0$

ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ କେତେ?
(A) ୯
(B) ୩
(C) ୮୧
(D) ୦

୧୯୯. ଯଦି

$\frac{x^2-1}{x^2+1}=\frac{4}{5}$

ହୁଏ, ତେବେ

$x$

ର ମାନ କେତେ?
(A)

$\pm$

(B)

$\pm$

(C)

$\pm$

(D)

$\pm$

୨୦୦.

$a{x}^2+bx+c=0$

ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ ହେଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଳର ମାନ କେତେ?
(A)

$-b/2a$

(B)

$b/2a$

(C)

$-b/a$

(D)

$c/a$

---

ଉତ୍ତର ସୂଚୀ (Answer Key):
୧୯୧. (A), ୧୯୨. (A), ୧୯୩. (B), ୧୯୪. (A), ୧୯୫. (C), ୧୯୬. (A), ୧୯୭. (A), ୧୯୮. (A), ୧୯୯. (A), ୨୦୦. (A)